الجبرا ایک ہے استعمال اعداد، حروف اور علامات جو کہ ریاضی کی شاخ کارکردگی مختلف ریاضی کی کارروائیوں کا حوالہ دیتے ہیں کے لئے. ریاضی کے وسائل کے طور پر آج کا الجبرا تعلقات ، ڈھانچے اور مقدار میں استعمال ہوتا ہے۔ ابتدائی الجبرا سب سے زیادہ عام ہے کیونکہ یہ ایک ہے جو ریاضی کے عمل کو استعمال کرتا ہے جیسے جوڑ ، گھٹائو ، ضرب اور تقسیم ، چونکہ ریاضی کے برعکس ، اس میں علامتوں کا استعمال ہوتا ہے جیسے اعداد کو استعمال کرنے کی بجائے XY سب سے عام ہے۔
الجبرا کیا ہے؟
فہرست کا خانہ
یہ وہ شاخ ہے جس کا تعلق ریاضی سے ہے ، جو ریاضی کے مسائل کو حروف ، علامتوں اور اعداد کے ذریعے حل کرنے کی اجازت دیتا ہے ، جو بدلے میں اشیاء ، مضامین یا عناصر کے گروہوں کی علامت ہے۔ اس سے آپریشنز مرتب کرنے میں مدد ملتی ہے جس میں نامعلوم نمبر ہوتے ہیں ، نامعلوم نامعلوم اور اس سے مساوات کی ترقی ممکن ہوتی ہے۔
الجبرا کے ذریعہ ، انسان ایک خلاصہ اور عمومی انداز میں گننے کے قابل رہا ہے ، لیکن اس سے زیادہ پیچیدہ حساب کتاب کے ذریعہ ، سر آئزک نیوٹن (1643-1727) ، لیون ہارڈ ایلر (1707- 1783) ، پیری ڈی فرمیٹ (1607-1665) یا کارل فریڈرک گاؤس (1777-1855) ، جن کی شراکت کی بدولت ہمارے پاس الجبرا کی تعریف موجود ہے جیسا کہ آج جانا جاتا ہے۔
تاہم ، تاریخ الجبرا کے مطابق ، اسکندریہ کا ڈیوفانٹس (تاریخ پیدائش اور موت نامعلوم ، جس کا خیال تیسری اور چوتھی صدیوں کے درمیان رہتا تھا) ، دراصل اس شاخ کا باپ تھا ، کیونکہ اس نے اریتھ میٹیکا نامی ایک کتاب شائع کی تھی ، اس میں تیرہ کتابوں پر مشتمل تھا اور جس میں اس نے مساوات کے ساتھ مسائل پیش کیے تھے جو ، اگرچہ نظریاتی نوعیت کے نہیں تھے ، عام حل کے ل adequate کافی تھے۔ اس سے الجبرا کیا ہے اس کی وضاحت میں مدد ملی ، اور ان کی بہت سی شراکت میں ، مسئلہ کے متغیر کے اندر کسی نامعلوم کی نمائندگی کے لئے عالمی علامتوں کا نفاذ تھا۔
"الجبرا" کے لفظ عربی زبان سے نکلتے ہیں اور اس کا مطلب "بحالی" یا "شناخت" ہے۔ اسی طرح اس کے معنی لاطینی زبان میں بھی ہیں ، جو "کمی" کے مساوی ہیں ، اور ، اگرچہ یہ ایک جیسی اصطلاحات نہیں ہیں ، ان کا مطلب ایک ہی چیز سے ہے۔
اس برانچ کے مطالعہ کے اضافی آلے کے طور پر ، آپ کے پاس الجبریک کیلکولیٹر ہوسکتا ہے ، جو کیلکولیٹر ہیں جو الجبری کام کو گراف کرسکتے ہیں۔ اس طرح سے دوسرے افعال کے درمیان اظہار ، گراف افعال کو متحد کرنے ، اخذ کرنے ، آسان بنانے ، میٹرک بنانے ، مساوات کو حل کرنے کی اجازت دینا ، اگرچہ یہ ٹول اعلی سطح کے ل more زیادہ مناسب ہے۔
الجبرا کے اندر الجبری اصطلاح ہے ، جو کم سے کم ایک حرف متغیر کے عددی عنصر کی پیداوار ہے ۔ جس میں ہر اصطلاح کو اس کے عددی گتانک سے فرق کیا جاسکتا ہے ، حرف کے ذریعہ اس کے متغیرات کی نمائندگی کی جاتی ہے اور لفظی عناصر کے اخراج کو شامل کرتے وقت اصطلاح کی ڈگری ہوتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ الجبری اصطلاح p5qr2 کے لئے ، گتانک 1 ہوگا ، اس کا لفظی حصہ p5qr2 ہوگا ، اور اس کی ڈگری 5 + 1 + 2 = 8 ہوگی۔
الجبراء اظہار کیا ہے؟
یہ ایک اظہار ہے جو عدد مستقل ، متغیر اور الجبرای کارروائیوں سے بنا ہے۔ الجبریائی اظہار علامتوں یا علامتوں پر مشتمل ہوتا ہے اور یہ دوسرے مخصوص عناصر سے بنا ہوتا ہے۔
ابتدائی الجبرا میں ، اور ساتھ ہی ریاضی میں ، مسئلے کو حل کرنے کے لئے جو الجبری کارروائییں استعمال کی جاتی ہیں وہ ہیں: اضافہ یا اس کے علاوہ ، گھٹاؤ یا گھٹائو ، ضرب ، تقسیم ، با اختیار (ایک سے زیادہ عنصر کی ضرب) اوقات) اور تابکاری (صلاحیت کے الٹا آپریشن)۔
ان کارروائیوں میں استعمال ہونے والی علامتیں وہی ہیں جو حساب ( ریاضی ) کے ل addition اضافے (+) اور گھٹاؤ (-) کے ل used استعمال ہوتی ہیں ، لیکن ضرب کے لئے X (x) کی جگہ ایک نقطہ (.) سے لی جاتی ہے یا ان کی نمائندگی گروپ کی علامت (مثال کے طور پر: CD اور (c) (d) عنصر “c” کے عنصر “d” یا cxd سے ضرب) کے برابر ہیں اور الجبری ڈویژن میں دو نکات (:) استعمال ہوئے ہیں ۔
گروپ بندی کی علامتیں بھی استعمال کی جاتی ہیں ، جیسے قوسین () ، مربع بریکٹ ، منحنی خطوط وحدانی {} اور افقی پٹیوں۔ رشتوں کی علامتیں بھی استعمال کی جاتی ہیں ، یہ وہ علامت ہیں جو یہ بتانے کے لئے استعمال ہوتی ہیں کہ دو اعداد و شمار کے مابین باہمی ربط ہے اور سب سے زیادہ استعمال ہونے والوں میں (=) کے برابر ، (>) سے زیادہ اور (<) سے کم ہیں ۔
نیز ، ان کی خصوصیات اصلی تعداد (عقلی ، جس میں مثبت ، منفی اور صفر شامل ہیں۔ اور غیر معقول ، جو وہ ہیں جن کو جزء کی نمائندگی نہیں کی جاسکتی ہے) یا پیچیدہ ، جو حقیقت کا حصہ ہیں ، الجبری طور پر بند فیلڈ کی تشکیل کرتے ہوئے ان کی خصوصیات ہیں.
یہ بنیادی الجبری اظہار ہیں
ایسے تاثرات ہیں جو الجبرا کے تصور کے حص areے ہیں ، ان اظہارات کو دو اقسام میں درجہ بندی کیا گیا ہے: یادداشتیں ، وہی ہیں جن میں ایک ہی جوڑا ہوتا ہے۔ اور کثیر الجماعات ، جس میں دو (دو قسمی) ، تین (تین الفاظ) یا اس سے زیادہ اضافہ ہوتا ہے۔
یادداشتوں کی کچھ مثالیں یہ ہوں گی: 3x ، π
جبکہ کچھ کثیرالقاعات ہوسکتی ہیں: 4 × 2 + 2x (بائنومیئل)؛ 7ab + 3a3 (سہ رخی)
یہ بتانا ضروری ہے کہ اگر متغیر (اس معاملے میں "x") فرد میں ہے یا کسی جڑ کے اندر ہے تو ، اظہارات یادداشت یا متعدد الفاظ نہیں ہوں گے۔
لکیری الجبرا کیا ہے؟
ریاضی اور الجبرا کا یہ علاقہ وہ ہے جو ویکٹر ، میٹرکس ، خطی مساوات کے نظام ، ویکٹر خالی جگہوں ، لکیری تبدیلیوں اور میٹرک کے تصورات کا مطالعہ کرتا ہے۔ جیسا کہ دیکھا جاسکتا ہے ، لکیری الجبرا میں مختلف درخواستیں ہیں۔
اس کی افادیت افعال کی جگہ کے مطالعہ سے مختلف ہوتی ہے ، جو وہ ہیں جو ایک سیٹ X (افقی) کے ذریعہ ایک سیٹ Y (عمودی) سے متعین کی جاتی ہیں اور ویکٹر یا ٹوپولوجیکل خالی جگہوں پر لگائی جاتی ہیں ۔ امتیازی مساوات ، جو کسی افعال (دوسری قدر پر منحصر ہے اس کی قیمت) سے مشتق ہوتے ہیں (تبدیلی کی فوری شرح جس سے کسی دیئے گئے فنکشن کی قدر مختلف ہوتی ہے)۔ آپریشنز تحقیق ، جو درست فیصلے کرنے کے لئے جدید تجزیاتی طریقوں کا اطلاق کرتی ہے۔ کرنے انجینرنگ.
لکیری الجبرا کے مطالعے کے ایک اہم محور ویکٹر خالی جگہوں پر پائے جاتے ہیں ، جو ویکٹروں کے ایک سیٹ (کسی لکیر کے حصے) اور اسکیلرز (اصلی ، مستقل یا پیچیدہ اعداد ، جس کی وسعت ہے لیکن نہیں) سمت ویکٹر کی خصوصیت)۔
مرکزی حد جہتی ویکٹر کی جگہیں تین ہیں۔
- آر این میں ویکٹر ، کارتیسی نقاط (افقی X محور اور عمودی Y محور) کی نمائندگی کرتا ہے.
- قالب آئتاکار نظام کے تاثرات (نمبر یا علامات کی طرف سے نمائندگی) ہیں، جو قطاروں کی ایک بڑی تعداد (عام طور پر خط "M" کی طرف سے نمائندگی) اور کالموں کی ایک بڑی تعداد (خط "N" کی طرف سے denoted) کی طرف سے خصوصیات ہیں، اور وہ سائنس اور انجینئرنگ میں استعمال ہوتے ہیں۔
- کثیر رقمی کی سمتیہ فضاء ایک ہی متغیر میں، ڈگری 2 سے تجاوز نہیں کرتے کہ، حقیقی جزو عام ہے اور متغیر "X" پر پائے جاتے ہیں کثیر رقمی طرف سے دی گئی.
الجبری کام
اس سے مراد وہ فنکشن ہوتا ہے جو الجبرای اظہار سے مطابقت رکھتا ہے ، جبکہ یہ ایک متعدد مساوات کو بھی پورا کرتا ہے (اس کے اعداد کو یادداشت یا کثیرالثانی ہو سکتا ہے)۔ ان کو درجہ بندی کیا جاتا ہے: عقلی ، غیر معقول اور مطلق قدر۔
- عددی عقلی فرائض وہ ہیں جن میں اظہار کیا گیا ہے: ، جہاں "P" اور "Q" دو متعدد نمائندوں کی نمائندگی کرتے ہیں اور "x" متغیر کی نمائندگی کرتے ہیں ، جہاں "Q" منسوخ کثیرالعمل سے مختلف ہوتا ہے ، اور متغیر "x" فرق کو منسوخ نہیں کرتا ہے.
- غیر معقول افعال ، جس میں اظہار f (x) ایک بنیاد پرست کی نمائندگی کرتا ہے ، جیسے:۔ اگر "این" کی قدر برابر ہے تو ، بنیاد پرست کی وضاحت کی جائے گی تاکہ g (x) 0 سے زیادہ اور اس کے برابر ہو ، اور نتائج کی نشانی پر بھی اشارہ کرنا ضروری ہے ، کیونکہ اس کے بغیر ، کسی فنکشن کے بارے میں بات کرنا ممکن نہیں ہوگا ، کیونکہ "x" کی ہر قیمت کے لئے دو نتائج ہوں گے۔ اگر اگر بنیاد پرست کا اشاریہ عجیب ہو تو ، مؤخر الذکر ضروری نہیں ہے ، کیوں کہ نتیجہ انوکھا ہوگا۔
- مطلق قدر کے افعال ، جہاں ایک حقیقی تعداد کی مطلق قدر اس کی عددی قیمت ہوگی جو اس کے نشان کو چھوڑ دیتی ہے۔ مثال کے طور پر ، 5 5 اور -5 دونوں کی مطلق قیمت ہوگی۔
موجود ہیں واضح الجبری افعال جس میں اس متغیر "Y" متغیر "X" وقت کی ایک محدود تعداد کے امتزاج کا نتیجہ ہو جائے گا، الجبری کارروائیوں کا استعمال کرتے ہوئے (مثلا، الجبری علاوہ)، ترقی شامل ہیں جو صلاحیتوں اور جڑوں کے نکالنے کے لئے؛ اس کا ترجمہ y = f (x) میں ہوگا۔ اس قسم کے الجبریک فنکشن کی ایک مثال مندرجہ ذیل ہوسکتی ہے: y = 3x + 2 یا کیا ہوگا: (x) = 3x + 2 ، چونکہ “y” صرف “x” کی شرائط میں ظاہر ہوتا ہے ۔
دوسری طرف، وہاں ضمنی والوں ، متغیر، جس میں وہ لوگ ہیں جو "Y" ہے صرف متغیر کی دالہ کے طور پر اظہار نہیں "X" ، تاکہ Y ≠ F (X). اس قسم کے فنکشن کی مثال کے طور پر ، ہمارے پاس: y = 5x3y-2 ہے
الجبراicک افعال کی مثالیں
کم از کم 30 قسم کے الجبراicک افعال موجود ہیں ، لیکن سب سے نمایاں ، ان میں مندرجہ ذیل مثالیں ہیں۔
1. واضح فعل: ƒ () = گناہ
2. ضمیمہ فنکشن: yx = 9 × 3 + x-5
3. متعدد تقریب:
a) مستقل: ƒ () = 6
b) پہلی ڈگری یا لکیری: ƒ () = 3 + 4
c) دوسری ڈگری یا چوکور: ƒ () = 2 + 2 + 1 یا (+1) 2
د) تیسری ڈگری یا کیوبک: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 + 9
4. عقلی تقریب: ƒ
5. ممکنہ فنکشن: ƒ () = - 1
6. بنیادی فعل: ƒ () =
7. حصوں کے لحاظ سے فنکشن: ƒ () = اگر 0 ≤ ≤ 5
بالڈور الجبرا کیا ہے؟
جب بالڈور کے الجبرا کے بارے میں بات کرتے ہو تو اس سے مراد ریاضی دان ، پروفیسر ، مصنف اور وکیل اوریلیو بالڈور (1906-1978) نے تیار کیا ہے جو 1941 میں شائع ہوا تھا۔ پروفیسر کی اشاعت میں ، کون ہوانا ، کیوبا میں پیدا ہوا تھا ، 5،790 مشقوں کا جائزہ لیا جاتا ہے ، جو فی ٹیسٹ اوسطا 19 مشقوں کے برابر ہے۔
بالڈور نے دیگر کاموں کو شائع کیا ، جیسے "طیارہ اور خلائی جیومیٹری" ، "بالڈور ٹریگونومیٹری" اور "بالڈور ایتھومیٹک" ، لیکن اس شاخ کے میدان میں جس کا سب سے زیادہ اثر ہوا ہے وہ ہے "بالڈور الجبرا"۔
تاہم ، یہ مابین انٹرمیڈیٹ کی تعلیمی سطح (جیسے ثانوی اسکول) کے لئے زیادہ تجویز کیا جاتا ہے ، کیوں کہ اعلی سطح (یونیورسٹی) کے لئے یہ مشکل سے دیگر اعلی درجے کی نصوص اور اس سطح کے مطابق کام کرسکتا ہے۔
فارسی مسلم ریاضی دان ، ماہر فلکیات دان اور جغرافیہ نگار الجارزمی (780-846) کی مشہور کتابی کتاب نے طلباء میں الجھن کی نمائندگی کی ہے جنہوں نے اس مشہور ریاضی کے آلے کو استعمال کیا ہے ، کیونکہ یہ خیال کیا جاتا ہے کہ اس کردار کے بارے میں اس کے مصنف بالڈور.
کام کے مشمولات کو 39 ابواب اور ایک ضمیمہ میں تقسیم کیا گیا ہے ، جس میں حساب کتاب کی میزیں ، عنصر سڑنے کی بنیادی شکلوں اور جڑوں اور طاقتوں کی میزیں شامل ہیں۔ اور متن کے آخر میں مشقوں کے جوابات ہیں۔
ہر باب کے آغاز میں ایک ایسی مثال پیش کی گئی ہے جو اس تصور کے ایک تاریخی جائزے کی عکاسی کرتی ہے جو ذیل میں تیار کی جائے گی اور اس کی وضاحت کی جائے گی ، اور اس تاریخی تناظر کے مطابق جس میں تصور کا حوالہ موجود ہے ، اس میدان میں نمایاں تاریخی شخصیات کا تذکرہ کیا گیا ہے۔ ان کرداروں میں پائیتھ گورس ، آرکیڈیز ، افلاطون ، ڈیوفینٹس ، ہائپٹیا ، اور یوکلیڈ سے لے کر رینی ڈسکارٹس ، آئزک نیوٹن ، لیونارڈو ایلر ، بلاس پاسکل ، پیئر سائمن لاپلیس ، جوہن کارل فریڈرک گاؤس ، میکس پلانک ، اور البرٹ آئن اسٹائن شامل ہیں۔
اس کتاب کی شہرت کیا تھی؟
اس کی کامیابی اس حقیقت میں مضمر ہے کہ یہ لاطینی امریکی ہائی اسکولوں میں ایک مشہور لازمی ادبی کام ہونے کے علاوہ ، اس موضوع پر سب سے زیادہ مشورے اور مکمل کتاب کے طور پر ہے ، کیونکہ اس میں تصورات اور ان کے الجبری مساوات کی واضح وضاحت موجود ہے ، نیز پہلوؤں سے متعلق تاریخی اعداد و شمار بھی ہیں۔ مطالعہ کرنے کے لئے ، جس میں الجبری زبان کو سنبھالا جاتا ہے۔
یہ کتاب طلباء کے لئے الجبری دنیا میں ابتداء کی اتکرج.ی ہے ، حالانکہ کچھ لوگوں کے لئے یہ الہامی مطالعات کے ایک ذریعہ کی نمائندگی کرتی ہے اور دوسروں کے لئے اس کا اندیشہ ہے ، حقیقت یہ ہے کہ احاطہ کرتا موضوعات کی بہتر تفہیم کے لئے یہ لازمی اور مثالی کتابیات ہے۔.
بولین الجبرا کیا ہے؟
انگریزی کے ریاضی دان جارج بُول (1815-1864) ، نے الجبری کارروائیوں کو انجام دینے کے لئے قوانین اور قواعد کا ایک گروپ تشکیل دیا ، اس مقام تک کہ اس کے ایک حص.ے کو اس کا نام دیا گیا ہے۔ اسی وجہ سے ، انگریزی کے ریاضی دان اور منطق دان کمپیوٹر سائنس کے پیش رو سمجھے جاتے ہیں ۔
منطقی اور فلسفیانہ دشواریوں میں ، بولے نے جو قوانین تیار کیے تھے ان کی وجہ سے انھیں دو ریاستوں میں آسان بنانے کی اجازت دی گئی ، جو حقیقی ریاست ہے یا غلط ریاست ، اور یہ نتیجہ ریاضی کے راستے سے حاصل ہوا۔ کچھ نفاذ شدہ کنٹرول سسٹم ، جیسے کنیکٹر اور رلی کھلے اور بند اجزاء استعمال کرتے ہیں ، کھلا وہی ہوتا ہے جو چلاتا ہے اور بند وہی ہوتا ہے جو نہیں کرتا ہے۔ یہ بولین الجبرا میں سبھی یا کچھ بھی نہیں کے نام سے جانا جاتا ہے۔
ایسی ریاستوں میں 1 اور 0 کی عددی نمائندگی ہوتی ہے ، جہاں 1 حقیقی اور 0 کو غلط کی نمائندگی کرتا ہے ، جس سے ان کا مطالعہ آسان ہوجاتا ہے۔ اس سب کے مطابق ، کسی بھی قسم کے کسی بھی اجزاء یا کسی بھی چیز کی نمائندگی منطقی متغیر کے ذریعہ نہیں کی جاسکتی ہے ، جس کا مطلب ہے کہ وہ قیمت 1 یا 0 پیش کرسکتا ہے ، یہ نمائندگی بائنری کوڈ کے نام سے مشہور ہیں۔
بولین الجبرا ڈیجیٹل الیکٹرانکس میں لاجک سرکٹس یا منطق سوئچنگ کو آسان بنانا ممکن بناتا ہے ۔ اس کے ذریعہ بھی ، سرکٹس کے حساب کتاب اور منطقی کاروائیاں زیادہ واضح انداز میں کی جاسکتی ہیں۔
بولین الجبرا میں تین بنیادی طریقہ کار ہیں ، جو یہ ہیں: منطقی مصنوعات ، اور گیٹ یا چوراہے کا فعل۔ منطقی رقم ، یا گیٹ ، یا یونین کا فنکشن؛ اور منطقی نفی ، گیٹ یا تکمیل کی تقریب نہیں۔ متعدد معاون افعال بھی موجود ہیں: منطقی مصنوعات کی نفی ، نند گیٹ۔ منطقی رقم کی نفی ، نور گیٹ؛ خصوصی منطقی رقم ، XOR گیٹ؛ اور خصوصی منطقی رقم ، گیٹ ایکس این او آر کی نفی۔
بولین الجبرا کے اندر ، بہت سارے قوانین موجود ہیں ، جن میں سے یہ ہیں:
- منسوخی کا قانون ۔ اسے منسوخی قانون بھی کہا جاتا ہے ، اس میں کہا گیا ہے کہ کسی عمل کے بعد کچھ مشقوں میں ، آزاد اصطلاح منسوخ ہوجائے گی ، تاکہ (AB) + A = A اور (A + B)۔ A = A
- شناخت کا قانون ۔ یا عناصر 0 اور 1 کی شناخت کے ذریعہ ، یہ ثابت کرتا ہے کہ متغیر جس میں کیل عنصر یا 0 شامل کیا جاتا ہے ، اسی متغیر A + 0 = A کے برابر ہوگا جیسے کہ متغیر کو 1 سے ضرب کیا جاتا ہے۔ نتیجہ ایک ہی A.1 = a ہے ۔
- لاقانونی قانون ۔ امریکہ کسی خاص کارروائی کئی بار اور ایک ہی نتیجہ ہے کہ ایسا ہے تو، آپ کو ایک مجموعہ A + A = A ہے تو اور کارکردگی کا مظاہرہ کیا جا سکتا ہے کہ یہ ایک disjunction ہے اگر AA = A.
- Commutative قانون. اس کا مطلب کوئی حکم ہے جس میں متغیر ہیں کوئی فرق ہے کہ، تو A + B = B + A.
- ڈبل نفی قانون ۔ اے جٹلتا، جو کہ ریاستوں سے انکار، ایک اور انکار کو ایک مثبت نتیجہ دیا جاتا ہے اگر ایسا ہے تو یہ کہ (اے ') = A.
- مورگن کی پرمیئ. ان کا کہنا ہے کہ عام طور پر نفی شدہ متغیرات کی کچھ مقدار کا مجموعہ ہر نفی شدہ متغیر کی آزادانہ طور پر پیداوار کے برابر ہوگا ، لہذا (A + B) '= A'.B' اور (AB) '= A' + B ' ۔
- تقسیم قانون ۔ اس سے یہ ثابت ہوتا ہے کہ جب کچھ متغیرات ایک ساتھ رکھے جائیں گے ، جو کسی اور بیرونی متغیر سے ضرب ہوجائیں گے ، تو یہ ہر متغیر کو بیرونی متغیر کے حساب سے ضرب کرنے کے مترادف ہوگا ، جیسا کہ: (A + B + C) = AB + AC ۔
- جذب جذب قانون ۔ اس کا کہنا ہے کہ اگر متغیر A ایک متغیر B کا نفاذ کرتا ہے تو پھر متغیر A کا مطلب A اور B ہوتا ہے ، اور A B کیذریعہ "جذب" ہوجائے گا۔
- ایسوسی ایٹیو قانون ۔ تغیر پزیر یا متعدد متغیرات میں شامل ہونے پر ، نتیجہ ان کے گروپ بندی سے قطع نظر ایک ہی ہوگا۔ تاکہ اس کے علاوہ A + (B + C) = (A + B) + C (پہلا عنصر پلس آخری دو کی ایسوسی ایشن ، پہلے دو جمع آخری کے برابر ہو)۔
