الجبرایک اظہار کو ریاضی کے عمل میں حروف ، علامات اور اعداد کے مجموعے کے طور پر جانا جاتا ہے ۔ عام طور پر حروف نامعلوم مقدار کی نمائندگی کرتے ہیں اور انھیں متغیر یا نامعلوم کہا جاتا ہے ۔ الجبرای اظہارات عام زبان کے ریاضی کی زبان کے تاثرات میں ترجمے کی اجازت دیتے ہیں۔ الجبرایبی اظہارات نامعلوم اقدار کو ان اعداد میں ترجمہ کرنے کی ذمہ داری سے پیدا ہوتے ہیں جن کی نمائندگی خطوط کے ذریعہ کی جاتی ہے۔ ریاضی کی ایک شاخ ان اظہار خیالات کے مطالعہ کے لئے ذمہ دار ہے جس میں اعداد اور حروف ظاہر ہوتے ہیں ، نیز ریاضی کے عمل کے آثار بھی الجبرا ہیں۔
الجبرایبی تاثرات کیا ہیں؟
فہرست کا خانہ
جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا ہے ، یہ کاروائیاں حروف ، اعداد اور علامتوں کے امتزاج کے سوا کچھ نہیں ہیں جو بعد میں مختلف ریاضیاتی عملوں میں استعمال ہوتے ہیں۔ الجبریائی اظہار میں ، حروف میں اعداد کا سلوک ہوتا ہے اور جب وہ اس کورس کو لے جاتے ہیں تو ، ایک سے دو خطوط کے درمیان استعمال ہوتا ہے۔
اس سے قطع نظر کہ آپ کے پاس جو بھی اظہار ہے ، اس کے لئے سب سے پہلے کام کو آسان بنانا ہے ، یہ آپریشن (زبانیں) کی خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیا جاتا ہے ، جو عددی خصوصیات کے برابر ہیں۔ الجبرایسی آپریشن کی عددی قیمت تلاش کرنے کے ل the ، حرف کو کسی خاص تعداد کے ذریعہ تبدیل کرنا ہوگا۔
ان خیالات پر بہت ساری مشقیں کی جاسکتی ہیں اور زیربحث موضوع کی تفہیم کو بہتر بنانے کے ل this اس حصے میں کی جائیں گی۔
الجبرایک اظہار کی مثالیں:
- (ایکس + 5 / ایکس + 2) + (4 ایکس + 5 / ایکس + 2)
ایکس + 5 + 4 ایکس + 5 / ایکس + 2 5 ایکس
+ 10 / ایکس + 2
5 (ایکس + 2) / ایکس + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2) 2 X
- 5 / X ^ 2 + 3X + 2
الجبری زبان
الجبری زبان وہ ہے جو اعداد کی نمائندگی کے ل symb علامتوں اور حرفوں کا استعمال کرتی ہے۔ اس کا بنیادی کام کسی زبان کو قائم کرنا اور ان کی تشکیل کرنا ہے جو ریاضی کے اندر رونما ہونے والے مختلف کاموں کو عام کرنے میں مدد کرتا ہے جہاں صرف نمبر اور ان کے ابتدائی ریاضی عمل (+ -x٪) واقع ہوتے ہیں۔
الجبری زبان کا مقصد ایک ایسی زبان کی تشکیل اور ڈیزائن کرنا ہے جو ریاضی کے اندر تیار ہونے والے مختلف کاموں کو عام کرنے میں مدد کرتا ہے ، جہاں صرف اعداد اور ان کے بنیادی ریاضیاتی عمل استعمال کیے جاتے ہیں: اضافہ (+) ، گھٹاؤ (-) ، ضرب (x) اور تقسیم (/)۔
الجبری زبان اس کی درستگی کی طرف سے خصوصیات ہے ، کیونکہ یہ عددی زبان سے کہیں زیادہ ٹھوس ہے۔ اس کے ذریعے مختصر طور پر جملوں کا اظہار کیا جاسکتا ہے۔ مثال کے طور پر: 3 کے ضربوں کا مجموعہ (3 ، 6 ، 9 ، 12…) ظاہر کیا جاتا ہے 3 این ، جہاں n = (1 ، 2 ، 3 ، 4…) ہے۔
یہ آپ کو نامعلوم نمبر ظاہر کرنے اور ان کے ساتھ ریاضی کی کارروائیوں کو انجام دینے کی اجازت دیتا ہے ۔ مثال کے طور پر ، دو نمبروں کے مجموعے کا اظہار اس طرح ہوتا ہے: a + b۔ عام عددی خصوصیات اور رشتے کے اظہار کی حمایت کرتا ہے۔
مثال: آمدورفت جائیداد کا اظہار اس طرح ہوتا ہے: axb = bx a. جب اس زبان کا استعمال کرتے ہوئے لکھتے ہو تو ، نامعلوم مقدار کو آسان علامتوں کے ساتھ تحریری طور پر استعمال کیا جاسکتا ہے ، جس سے نظریات کو آسان بنانے ، مساوات اور عدم مساوات کی تشکیل اور ان کو حل کرنے کے طریقے کا مطالعہ کیا جاسکتا ہے۔
الجبری علامات اور علامتیں
الجبرا میں ، علامت اور علامت دونوں سیٹ تھیوری میں استعمال ہوتے ہیں اور یہ مساوات ، سیریز ، میٹرکس وغیرہ کی تشکیل یا نمائندگی کرتے ہیں۔ خطوط کو اظہار یا متغیر کے نام سے پکارا جاتا ہے ، چونکہ اسی خط کو دوسرے مسائل میں استعمال کیا جاتا ہے اور اس کی قیمت مختلف متغیر پاتی ہے۔ کچھ درجہ بندی میں الجبری اظہارات درج ذیل ہیں۔
الجبری جزء
الجبریک حصractionہ ایک کے طور پر جانا جاتا ہے جس کی نمائندگی دو کثیرالثانیات کے اعداد سے کی جاتی ہے جو عددی جزء کی طرح رویہ ظاہر کرتی ہے۔ ریاضی میں ، آپ ضرب اور تقسیم کرکے ان مختلف حصوں کے ساتھ کام کرسکتے ہیں۔ لہذا ، یہ ظاہر کرنا ضروری ہے کہ الجبرا جزء کی نمائندگی دو الگ الگ علامات کے فقرے کے ذریعہ کی جاتی ہے جہاں ہندسہ مساوی ہے اور منقاعدہ تفریق۔
الجبرایک حصractionsوں کی خصوصیات میں یہ بات اجاگر کی جاسکتی ہے کہ اگر ہر ایک کو اسی غیر صفر مقدار سے تقسیم یا ضرب دیا جائے تو یہ جزء بدلا نہیں جائے گا۔ الجبرایک حصractionہ کو آسان بنانا اس کو ایک ایسے حص.ے میں تبدیل کرنے میں شامل ہے جو اب کم نہیں ہوسکتا ہے ، جس کی وجہ یہ ہے کہ اعداد اور فرق کو بنانے والے کثیر عنصر کو عنصر بنانا ضروری ہے۔
درجہ بندی الجبرای اظہارات مندرجہ ذیل اقسام میں جھلکتے ہیں: مساوی ، آسان ، درست ، نامناسب ، اعداد یا کالعدم سے بنا ہوا۔ تب ہم ان میں سے ہر ایک کو دیکھیں گے۔
مساوی
اس پہلو کا سامنا اس وقت کرنا پڑتا ہے جب کراس پروڈکٹ ایک جیسا ہوتا ہے ، یعنی جب مختلف حصوں کا نتیجہ ایک جیسا ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر ، ان دو الجبریک کسروں میں سے: 2/5 اور 4/10 برابر ہوگی اگر 2 * 10 = 5 * 4۔
آسان
وہ جس میں وہ لوگ ہیں شمار کنندہ اور نسب نما کی نمائندگی عددی عقلی اظہارات.
خود
وہ سادہ حصractionsہ ہیں جس میں ہندے والے سے اعداد کم ہیں۔
نا مناسب
یہ سادہ حصractionsہ ہیں جس میں ہندے والا مسالک کے برابر یا اس سے زیادہ ہے۔
جامع
وہ ایک یا ایک سے زیادہ حصractionsوں کے ذریعہ تشکیل پائے جاتے ہیں جو عنصر ، حرف یا دونوں میں واقع ہوسکتے ہیں۔
کالعدم یا اعداد
اس وقت ہوتی ہے جب قیمت 0 ہو ۔ کسر 0/0 ہونے کی صورت میں یہ غیر متعین ہوگا۔ جب ریاضی کی کارروائیوں کو انجام دینے کے لئے الجبریک فرکشن کا استعمال کرتے ہو تو ، عددی جزء کے ساتھ چلنے والی کارروائیوں کی کچھ خصوصیات کو بھی دھیان میں رکھنا چاہئے ، مثال کے طور پر ، شروع کرنے کے لئے کم سے کم عام ایک سے زیادہ تلاش کرنا ضروری ہے جب ہر فرد مختلف ہندسوں کے ہوتے ہیں۔
تقسیم اور ضرب دونوں میں ، آپریشن عددی فریکشن کے ساتھ ہی کئے جاتے ہیں اور انجام پائے جاتے ہیں ، کیونکہ جب بھی ممکن ہو ان کو پہلے آسان بنانا ہوگا۔
یادگاریاں
یادداشتوں میں وسیع پیمانے پر الجبرای اظہارات استعمال کیے جاتے ہیں جن میں مستقل اور ضعیف حصہ کہا جاتا ہے ، جس کی نمائندگی خطوط کے ذریعہ کی جاتی ہے اور اسے مختلف طاقتوں تک اٹھایا جاسکتا ہے۔ مثال کے طور پر ، monomial 2x² میں 2 ہوتا ہے کیونکہ اس کا قابلیت اور x² لغوی حص.ہ ہے۔
متعدد مواقع پر ، لغوی حص unknownہ نامعلوموں کے ضرب پر مشتمل ہوسکتا ہے ، مثال کے طور پر 2 اکسی کے معاملے میں۔ ان حرفوں میں سے ہر ایک کو غیر متعینہ یا متغیر کہا جاتا ہے۔ مونومیل ایک اصطلاح کے ساتھ متعدد متعدد قسم ہے ، اس کے علاوہ ، اسی طرح کی یادداشتوں کے سامنے ہونے کا امکان بھی موجود ہے ۔
یادداشتوں کے عنصر
یادگار 5x ^ 3؛ مندرجہ ذیل عناصر ممتاز ہیں:
- قابلیت: 5
- لغوی حصہ: x ^ 3
یادداشتوں کی پیداوار ضرب ہے ، جو اس تعداد سے مراد ہے جو لفظی حصے کو ضرب دے کر ظاہر ہوتی ہے۔ عام طور پر یہ شروع میں رکھا جاتا ہے۔ اگر یادداشتوں کی پیداوار کی قیمت 1 ہوتی ہے تو ، یہ تحریر نہیں کیا جاتا ہے ، اور یہ کبھی بھی صفر نہیں ہوسکتا ہے ، کیونکہ پورے اظہار کی قیمت صفر کی ہوگی۔ اگر کوئی ایسی چیز ہے جس کے بارے میں آپ کو Monomialial ਅਭقادوں کے بارے میں جاننا چاہئے ، تو یہ ہے:
- اگر کسی رقم میں کوئی قابلیت کا فقدان ہے تو ، اس کے برابر ہے۔
- اگر کسی بھی اصطلاح کا کوئی خاکہ نہ ہو تو ، وہ ایک کے برابر ہے۔
- اگر کوئی لغوی حصہ موجود نہیں ہے ، لیکن اس کی ضرورت ہے تو ، اسے صفر کے خاکہ کے ساتھ سمجھا جاتا ہے۔
- اگر اس میں سے کوئی بھی اتفاق نہیں کرتا ہے تو ، پھر آپ monomial مشقوں سے نمٹنے نہیں کر رہے ہیں ، آپ یہاں تک کہہ سکتے ہیں کہ ایک ہی اصول متعدد اور monmonial کے درمیان مشقوں کے ساتھ موجود ہے۔
یادداشتوں کا اضافہ اور گھٹاؤ
دو خطی یادداشتوں کے مابین رقم جمع کرنے کے ل. ، لکیری حصہ رکھنا اور گتانک کو شامل کرنا ضروری ہے۔ دو لکیری یادداشتوں کے چوتوں میں ، لکیری حصے کو رکھنا چاہئے ، جیسا کہ رقوم میں ہوتا ہے ، جیسا کہ رقم کو گھٹانے میں کامیاب ہوجاتا ہے ، پھر قابلیت ضرب ہوجاتی ہے اور خاکہ کو اسی اڈوں کے ساتھ شامل کیا جاتا ہے۔
یادداشتوں کی ضرب
یہ ایک یادداشت ہے جس کا قابلیت عددی طب کا نتیجہ یا نتیجہ ہے ، جس کا لفظی حصہ ہوتا ہے جو اختیارات کی ضرب کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے جس کی بالکل وہی بنیاد ہوتی ہے۔
یادداشتوں کی تقسیم
یہ دوسری یادداشت سے زیادہ کچھ نہیں ہے جس کا قابلیت حاصل کردہ گتانکوں کا فقرہ ہے جو اس کے علاوہ ، طاقتوں کے مابین تقسیم سے اصل لفظی حص haveہ حاصل کرتا ہے جس کی بالکل وہی بنیاد ہوتی ہے۔
متعدد
جب ہم کثیر الجماعی کے بارے میں بات کرتے ہیں تو ، ہم اس کے علاوہ ، گھٹائو ، اور متغیرات ، ثابت قدمی اور اخراج کرنے والوں سے بنا ضرب کا حکم دیتے ہیں۔ الجبرا میں ، ایک متعدد متعدد میں ایک سے زیادہ متغیر (ایکس ، وائی ، زیڈ) ، مستحکم (عدد یا جزء) اور خاکہ (جو صرف مثبت عدد ہوسکتے ہیں) ہوسکتے ہیں۔
متعدد محدود اصطلاحات پر مشتمل ہوتے ہیں ، ہر اصطلاح ایک تاثرات ہوتی ہے جس میں ان میں سے ایک یا تین سے زیادہ عنصر شامل ہوتے ہیں جن کے ساتھ وہ بنائے جاتے ہیں: متغیرات ، مستقل یا اخراج کرنے والے۔ مثال کے طور پر: 9 ، 9x ، 9xy تمام شرائط ہیں۔ شرائط کی نشاندہی کرنے کا دوسرا طریقہ یہ ہے کہ وہ اضافے اور گھٹاؤ سے الگ ہوجاتے ہیں۔
کثیر الاضلاعات کو حل کرنے ، آسان بنانے ، جوڑنے یا گھٹانے کے ل you ، آپ کو ایک ہی متغیر کے ساتھ شرائط میں شامل ہونا پڑے گا ، مثال کے طور پر ، x کے ساتھ کی شرائط ، "y" والی شرائط اور جن شرائط میں کوئی متغیر نہیں ہے۔ نیز ، اصطلاح سے پہلے اس نشانی کو دیکھنا بھی ضروری ہے جو اس بات کا تعین کرے گا کہ اسے جوڑنا ، گھٹا دینا یا ضرب لگانا ہے۔ ایک ہی متغیر والی شرائط کو گروپ میں شامل ، شامل یا گھٹا دیا جاتا ہے۔
متعدد قسم کی قسم
متعدد اصطلاحات جو متعدد ہوتی ہیں اس سے یہ پتہ چلتا ہے کہ یہ کس قسم کی کثیرالثبت ہے ، مثال کے طور پر ، اگر ایک ہی مدت کے متعدد کثیرالقاعد موجود ہیں ، تو پھر اسے ایک چھوٹی چھوٹی چیز کا سامنا کرنا پڑتا ہے۔ اس کی واضح مثال متعدد مشقوں میں سے ایک ہے (8 اکسی)۔ یہاں دو میعاد متعدد کثیرالعمل بھی ہے ، جسے دو ماہی کہا جاتا ہے اور اس کی نشاندہی مندرجہ ذیل مثال کے ذریعہ کی جاتی ہے: 8 اکسی۔ 2 ی۔
آخر میں، جس ٹرانوماالس کے طور پر جانا جاتا ہے اور 8xy کے بہپد مشقوں میں سے ایک کی طرف سے پہچانے جاتے ہیں تین شرائط، کی بہپد - 2Y + 4. ٹرانوماالس ہیں الجبری اظہار کی ایک قسم تین شرائط میں سے رقم یا فرق کی طرف سے قائم ہے یا monomials (اسی طرح کی یادداشتوں).
کثیر الثالثی کی ڈگری کے بارے میں بات کرنا بھی ضروری ہے ، کیوں کہ اگر یہ ایک متغیر ہے تو ، یہ سب سے بڑا ضائع کرنے والا ہے۔ ایک سے زیادہ متغیر کے ساتھ کثیر الثالثی کی ڈگری اس اصطلاح کے ذریعہ طے کی جاتی ہے جس کا استعمال سب سے بڑے اخراج کنندہ کے ساتھ ہوتا ہے۔
کثیرالقاعی کا اضافہ اور گھٹاؤ
کثیر الجماعی کی رقم میں امتزاج کو شامل کرنا شامل ہے ۔ اسی طرح کی اصطلاحات یادداشتوں کا حوالہ دیتے ہیں جس میں ایک ہی متغیر یا متغیر ایک ہی طاقت میں اٹھائے جاتے ہیں۔
متعدد حسابات کو انجام دینے کے مختلف طریقے ہیں ، بشمول کثیرالثانیہ کا مجموعہ ، جو دو مختلف طریقوں سے کیا جاسکتا ہے: افقی اور عمودی۔
- افقی طور پر کثیر الجماعی کا اضافہ: افقی طور پر آپریشن انجام دینے کے لئے استعمال ہوتا ہے ، فالتو پن اس کے قابل ہوتا ہے ، لیکن پہلے ایک متعدد لکھا جاتا ہے اور پھر اسی لائن پر جاری رہتا ہے۔ اس کے بعد ، دوسرا کثیرالعمل جو جوڑا یا گھٹایا جارہا ہے لکھا گیا ہے اور آخر کار ، اسی طرح کی اصطلاحات کو گروپ کیا گیا ہے۔
- کثیر الجماعی کی عمودی رقم: یہ ایک ترتیب انداز میں پہلا کثیرالقوی لکھ کر حاصل کیا جاتا ہے۔ اگر یہ نامکمل ہے تو ، یہ ضروری ہے کہ گمشدہ اصطلاحات کو خالی چھوڑ دیں۔ پھر ، اگلی کثیرالعمل پچھلے سے بالکل نیچے لکھی جاتی ہے ، اس طرح ، مذکورہ بالا سے ملتی جلتی اصطلاح نیچے ہوگی۔ آخر میں ہر کالم کو شامل کیا جاتا ہے۔
اس میں یہ شامل کرنا ضروری ہے کہ دو متعدد کثیرالعاملات شامل کرنے کے ل degree ، ایک ہی ڈگری کی شرائط کے قابلیت کو شامل کرنا ضروری ہے۔ ایک ہی ڈگری کی دو شرائط کو شامل کرنے کا نتیجہ اسی ڈگری کی ایک اور اصطلاح ہے۔ اگر کسی بھی ڈگری میں سے کوئی ٹرم غائب ہے تو ، اسے 0 کے ساتھ مکمل کیا جاسکتا ہے۔ اور عام طور پر انھیں اعلی سے لے کر نچلی ڈگری تک آرڈر دیا جاتا ہے۔
جیسا کہ اوپر بیان ہوا ہے ، دو کثیرالقاعیات کا مجموعہ انجام دینے کے ل only ، صرف اسی ڈگری کی شرائط شامل کرنا ضروری ہے۔ اس آپریشن کی خصوصیات پر مشتمل ہیں:
- ایسوسی ایٹیو خصوصیات: جس میں دو کثیر الجماعات کا مجموعہ ایک ہی طاقت میں اضافے والے ایکس کے ساتھ آنے والے گتانکوں کو شامل کرکے حل ہوجاتا ہے۔
- تبدیلی کی خاصیت: جو اضافے کے ترتیب کو بدل دیتی ہے اور اس کے نتیجے میں کمی نہیں کی جاسکتی ہے۔ غیر جانبدار عناصر ، جس میں ان کے تمام تر اعداد 0 کے برابر ہوتے ہیں۔ جب غیر متناسب عنصر میں کثیر عنصر شامل کیا جاتا ہے تو ، نتیجہ پہلے کے برابر ہوتا ہے۔
- متضاد املاک: متعدد کثیرالقاعی کی تشکیل کردہ جس میں مجموعی کثیرالقاعی کے جتنے ضوابط کے تمام ضوابط متضاد ہوتے ہیں ۔ اس طرح ، جب اضافی کارروائی کرتے وقت ، نتیجہ کالعدم کثیر ہوتا ہے۔
کثیر الجماعی کے گھٹائو ، (کثیر الجماعی کے ساتھ آپریشن) کے سلسلے میں ، یہ ضروری ہے کہ وہ یادداشتوں کو گروپ کی خصوصیات کے مطابق بنائے اور اسی طرح کے لوگوں کی سادگی کے ساتھ شروع کرے۔ کثیر الجماعی کے ساتھ آپریشن منٹ ہینڈ کے ماتحت کے برعکس شامل کرکے کئے جاتے ہیں۔
کثیر الجماعات کو گھٹانے کے ساتھ آگے بڑھنے کا ایک اور موثر طریقہ یہ ہے کہ ہر ایک کے متعدد کے نیچے ایک دوسرے کے نیچے لکھنا ہے۔ اس طرح ، اسی طرح کی یادداشتیں کالموں میں باقی رہتی ہیں اور ہم انہیں شامل کرنے کے لئے آگے بڑھتے ہیں۔ اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کہ کون سی تکنیک انجام دی جارہی ہے ، آخر میں ، نتیجہ ہمیشہ ایک ہی ہوگا ، اگر یہ صحیح طریقے سے کیا جائے تو۔
کثیر الجماعی کی ضرب
متعدد اور مونومائلس کے مابین مشقوں یا مشقوں کی ضرب ، یہ ایک ایسا عمل ہے جس کے نتیجے میں پیداواری سامان کو تلاش کرنے کے لئے کیا جاتا ہے ، ایک یادداشت (ایک عدد کی ضرب اور ایک مثبت عددی بیان کنندہ کے لئے اٹھائے جانے والے خط) کے درمیان اور دوسرا اظہار ، اگر یہ ایک خودمختار اصطلاح ہے ، تو دوسری یادداشت ، یا یہاں تک کہ ایک کثیرالقاعدہ (یادداشتوں اور آزاد شرائط کی ایک محدود رقم)۔
تاہم ، تقریبا all تمام ریاضیاتی عملوں کی طرح ، کثیر الجماعی کی ضرب میں بھی کئی اقدامات ہیں جن کا مجوزہ عمل حل کرتے وقت عمل کرنا چاہئے ، جس کا خلاصہ مندرجہ ذیل طریقہ کار میں کیا جاسکتا ہے۔
سب سے پہلے کام کرنے کی یادداشت کو اس کے اظہار سے ضرب کرنا ہے (اس کی ہر شرائط کی نشانیوں کو ضرب دیں)۔ اس کے بعد ، ضوابط کی قدریں ضرب ہوجاتی ہیں اور جب اس کارروائی میں قیمت مل جاتی ہے تو ، اصطلاحات میں پائی جانے والی یادداشتوں کی لغوی چیز شامل کردی جاتی ہے۔ پھر ہر نتیجے کو حرفی ترتیب میں نوٹ کیا جاتا ہے اور ، آخر میں ، ہر خاکہ شامل کیا جاتا ہے ، جو بیس لٹریلز میں واقع ہوتے ہیں۔
متعدد ڈویژن
اسے روفینی طریقہ کے نام سے بھی جانا جاتا ہے ۔ اس سے ہمیں ایک کثیرالقاعد کو دو ماہی تقسیم کرنے کی سہولت ملتی ہے اور اس سے ہمیں کثیرالقاعی کی جڑیں تلاش کرنے کی بھی اجازت ملتی ہے تاکہ اس کو جزوی طور پر تبدیل کیا جاسکے۔ دوسرے لفظوں میں ، اس تکنیک کے ذریعہ ، ڈگری این کے الجبری کثیرالعقول کو الگ الجبرک بائنومیئل میں تقسیم کرنا یا سڑنا ممکن ہوتا ہے ، اور پھر ڈگری N-1 کی ایک اور الجبریک کثیرالثانی میں تبدیل ہوجاتا ہے۔ اور یہ ممکن ہونے کے ل it ، علیحدگی کے عین مطابق ہونے کے ل the ، انفرادی کثیرالثانی کی جڑوں میں سے کسی ایک کو جاننا یا جاننا ضروری ہے۔
ایک متعدد فارم کو ایکس - آر فارم کے دو ماہہ کے ذریعہ تقسیم کرنے کی ایک موثر تکنیک ہے ۔ جب تفویض خطی عنصر ہوتا ہے تو روفینی کا اصول مصنوعی تقسیم کا ایک خاص کیس ہوتا ہے۔ اطالوی ریاضی دان ، پروفیسر اور معالج پاولو روفینی نے 1804 میں روفینی کے اس طریقہ کو بیان کیا تھا ، جس نے روفینی کی حکمرانی نامی مشہور طریقہ ایجاد کرنے کے علاوہ ، جس کے ذریعہ ایک کثیرالقدم کے ٹکڑے ہونے کے نتیجہ کے قابلیت کو تلاش کرنے میں بھی مدد ملتی ہے۔ بائنومیئل؛ مساوات کی جڑوں کے تخمینی حساب پر اس نے یہ تکنیک بھی دریافت کی اور تیار کی۔
ہمیشہ کی طرح ، جب بات الجبرای آپریشن کی ہوتی ہے تو ، روفینی کے قاعدے میں کئی اقدامات شامل ہیں جو مطلوبہ نتائج تک پہنچنے کے ل fulfilled پورے ہونے چاہئیں ، کسی بھی قسم کے کثیرالقاعی کی تقسیم میں موازی اور بقیہ کو تلاش کرنا۔ x + r فارم کا دو طرفہ۔
سب سے پہلے ، آپریشن شروع کرتے وقت ، اس بات کی تصدیق کرنے کے لئے تاثرات پر نظرثانی کی جانی چاہئے کہ آیا انہیں واقعی طور پر متعدد اور بائنومیئلز کے ساتھ برتاؤ کیا جاتا ہے جو روفینی رول کے طریقہ کار سے متوقع فارم کا جواب دیتے ہیں۔
ایک بار جب ان اقدامات کی تصدیق ہوجائے تو ، متعدد کا حکم دیا جاتا ہے (نزولی ترتیب میں) ایک بار جب یہ قدم ختم ہوجائے تو ، کثیر الجماعی اصطلاحات (آزاد تک) کے محض اعداد و شمار کو مدنظر رکھا جاتا ہے ، جس سے انہیں بائیں سے دائیں تک ایک قطار میں رکھ دیا جاتا ہے۔ ان شرائط کے ل Some کچھ جگہیں باقی رہ گئی ہیں جن کی ضرورت ہے (صرف ایک نامکمل متعدد کی صورت میں)۔ گیلی کا نشان قطار کے بائیں طرف رکھا گیا ہے ، جو لابانش کثیرالقاعی کے قابلیت سے بنا ہے۔
گیلری کے بائیں حصے میں ، ہم بائنومیئل کی آزاد اصطلاح رکھنے کے لئے آگے بڑھتے ہیں ، جو اب ایک تفرقہ دار ہے اور اس کا اشارہ الٹا ہے۔ آزاد متعدد کے پہلے قابلیت سے ضرب ہوتا ہے ، اس طرح پہلی صف کے نیچے دوسری صف میں اندراج ہوتا ہے۔ پھر دوسرا قابلیت اور یادداشت آزاد خودمختاری اصطلاح کی مصنوعات کو پہلے گتانک کے ذریعہ منہا کردیا جاتا ہے۔
بائنومیئل کی آزاد اصطلاح پچھلے گھٹائو کے نتیجہ سے کئی گنا ہے۔ لیکن اس کے علاوہ ، یہ دوسری صف میں رکھا گیا ہے ، جو چوتھے ضرب سے ملتا ہے۔ تمام شرائط پر آنے تک آپریشن کو دہرایا جاتا ہے۔ تیسری صف جو ان ضربوں کی بنیاد پر حاصل کی گئی ہے ، اس کی آخری مدت کے استثناء کے ساتھ ، اس کی تقسیم کی باقی مانی جانے والی حیثیت سے ، مستعمل کے طور پر لی گئی ہے۔
نتیجہ کا اظہار کیا جاتا ہے ، متغیر کے ہر ایک قابلیت اور اس کے مطابق ڈگری کے ساتھ ، ان کا اظہار اس کی ابتداء کے مقابلے میں کم ڈگری کے ساتھ کرنا شروع ہوتا ہے۔
- یادداشت کا نظریہ: یہ ایک عملی طریقہ ہے جو کسی دوسرے کے ذریعہ کثیر P (x) کو تقسیم کرنے کے لئے استعمال ہوتا ہے جس کی شکل ایکس اے ہے ۔ جس میں صرف باقی کی قیمت حاصل کی جاتی ہے۔ اس اصول کو نافذ کرنے کے لئے ، درج ذیل اقدامات پر عمل کیا جاتا ہے۔ متعدد منافع مکمل یا آرڈر کے بغیر لکھا جاتا ہے ، پھر منافع کا متغیر X تقسیم کنندہ کی آزاد اصطلاح کی مخالف قیمت کے ساتھ بدل جاتا ہے۔ اور آخر کار ، کاروائیاں مجموعہ میں حل ہوجاتی ہیں۔
بقیہ تھیوریم ایک ایسا طریقہ ہے جس کے ذریعہ ہم باقی الجبری ڈویژن حاصل کرسکتے ہیں لیکن جس میں اس کو تقسیم کرنا ضروری نہیں ہے۔
- روفینی کا طریقہ: روفینی کا طریقہ یا قاعدہ ایک ایسا طریقہ ہے جو ہمیں ایک کثیرالقاعد کو دو ماہی حصے میں تقسیم کرنے کی سہولت دیتا ہے اور اس سے ہمیں کثیرالقاعی کی جڑوں کا پتہ لگانے کی بھی اجازت دیتا ہے تاکہ اس میں عنقریب عنصر ہوجائے۔ دوسرے لفظوں میں ، اس تکنیک کے ذریعہ ، ڈگری این کے الجبری کثیرالعقول کو الگ الجبری بائنومیئل میں تقسیم کرنا یا اس کی تشکیل کرنا ممکن ہوجاتا ہے ، اور پھر ڈگری N-1 کی ایک اور الجبریک کثیرالثانی میں۔ اور یہ ممکن ہونے کے ل it ، علیحدگی کے عین مطابق ہونے کے ل the ، انفرادی کثیرالثانی کی جڑوں میں سے کسی ایک کو جاننا یا جاننا ضروری ہے۔
- متعدد کی جڑیں: کثیر الثانی کی جڑیں کچھ ایسی تعداد ہوتی ہیں جو ایک کثیرالقاعدہ کی قیمت صفر ہوجاتی ہیں۔ ہم یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ انٹیجر گتانک کے کثیر الجماعی کی مکمل جڑیں آزاد اصطلاح کی تفریق ہوں گی۔ جب ہم کثیر الجماعی کو صفر کے برابر حل کرتے ہیں تو ، ہم کثیر الثانی کی جڑیں بطور حل حاصل کرتے ہیں۔ متعدد کی جڑوں اور عوامل کی خصوصیات کے طور پر ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ ایک کثیر الجماعی کی صفر یا جڑیں آزاد اصطلاح کے طلاق لینے والوں کے ذریعہ ہوتی ہیں جس کا تعلق کثیرالثانی سے ہوتا ہے۔
مثال کے طور پر ، یہ ایک اور شکل XA کے ذریعہ ہمہ گیر p (x) کی تقسیم کا باقی حص findہ تلاش کرنے میں مدد دیتا ہے ۔ اس نظریہ سے یہ پایا جاتا ہے کہ ایک کثیرالقاعتی p (x) xa کے ذریعہ ہی تقسیم پزیر ہوتا ہے جب A کثیرالزاعی کی جڑ ہے ، صرف اس صورت میں اور صرف اس صورت میں اگر p (a) = 0. اگر C (x) اقتباس ہے اور R (x) کسی کثیرالقاعتی پی (ایکس) کی تقسیم کے بقیہ حص aہ ہے جس میں (xa) p (x) کی عددی قیمت ہوگی ، x = a کے لئے ، یہ xa کے ذریعہ اس کی باقی تقسیم کے برابر ہے۔
تب ہم کہیں گے کہ: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a) عام طور پر ، غذر کے ذریعہ ڈویژن کی باقی چیز حاصل کرنے کے لئے ، ایکس کی جگہ لینے کے بجائے روفینی کے اصول کو نافذ کرنا زیادہ آسان ہے۔ لہذا ، بقیہ تھیورم مسائل کو حل کرنے کے لئے سب سے موزوں طریقہ ہے۔
ریاضی کی دنیا میں ، رفینی کا قاعدہ X - r فارم کے ایک بایومینیال کے ذریعہ ایک کثیر الکاہل کو تقسیم کرنے کے لئے ایک موثر تکنیک ہے۔ جب تفویض خطی عنصر ہوتا ہے تو روفینی کا اصول مصنوعی تقسیم کا ایک خاص کیس ہوتا ہے۔
اطالوی ریاضی دان ، پروفیسر اور معالج پاولو روفینی نے 1804 میں روفینی کے اس طریقہ کو بیان کیا تھا ، جس نے روفینی کی حکمرانی نامی مشہور طریقہ ایجاد کرنے کے علاوہ ، جس کے ذریعہ ایک کثیرالقدم کے ٹکڑے ہونے کے نتیجہ کے قابلیت کو تلاش کرنے میں بھی مدد ملتی ہے۔ بائنومیئل؛ مساوات کی جڑوں کے تخمینی حساب پر اس نے یہ تکنیک بھی دریافت کی اور تیار کی۔
اس کے بعد ، ہر جڑ کے لئے ، مثال کے طور پر ، قسم کی x = ایک قسم (xa) کی دو جہتی سے مماثل ہے۔ عوامل میں ایک کثیرالزاعی کا اظہار کرنا ممکن ہے اگر ہم اسے کسی مصنوع کے طور پر یا اس قسم کے تمام بائنیملز (XA) کا اظہار کریں جو اس کے نتیجے میں جڑ سے مطابقت رکھتا ہو ، x = a ، اس کے نتیجے میں۔ واضح رہے کہ بائنومیئلز کے اخراج کرنے والوں کا مجموعہ کثیرالثانی کی ڈگری کے برابر ہے ، اس بات کو بھی مدنظر رکھنا چاہئے کہ کوئی بھی کثیر الثانی جس کی خودمختار اصطلاح نہیں ہوتی ہے وہ روٹ x = 0 کے طور پر تسلیم کرے گا ، بصورت دیگر ، یہ تسلیم کرے گا ایکس فیکٹر.
جب ہم اس کو حقیقت میں بنانے کا کوئی امکان نہیں رکھتے ہیں تو ہم ایک متعدد "پرائم" یا "ناقابل تلافی" کہیں گے ۔
اس موضوع کو تلاش کرنے کے ل. ، ہمیں الجبرا کے بنیادی نظریہ کے بارے میں واضح ہونا چاہئے ، جس میں کہا گیا ہے کہ غیر متغیر متغیر اور پیچیدہ گتانک میں ایک کثیر الثانیہ کے لئے کافی ہے کہ ان کی ڈگری جتنی جڑیں رکھے ، چونکہ جڑوں کی کثیریت ہوتی ہے۔ یہ اس بات کی تصدیق کرتا ہے کہ ڈگری ن کے کسی بھی الجبری مساوات میں این پیچیدہ حل موجود ہیں۔ متعدد ڈگری ن کی زیادہ سے زیادہ ن اصلی جڑیں ہوتی ہیں ۔
مثالیں اور مشقیں
اس حصے میں ہم اس اشاعت میں شامل ہر عنوان کے حل کی کچھ الجزائری تاثرات رکھیں گے۔
الجبرایک اظہار کی مشقیں:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
کثیر الجماعی کا مجموعہ
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
کثیرالقاعد کا گھٹائو
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
متعدد ڈویژن
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 اور
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
الجبریائی اظہار (دو جہتی مربع)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
یاددہانی تھیوریم
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
یادداشتوں کی ضرب
axnbxm = (اب) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
یادداشتوں کی تقسیم
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 اور
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
-6 v2۔ c x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
یادداشتوں کا اضافہ اور گھٹاؤ
ورزش: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
حل: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
